已知a=（2，-1），b=（22，2）．f（x）=x2+a2x+a?b，数列{an}满足a1=1，3an=f（an-1）+1（n∈N，n≥2），数列{bn}前n项和为Sn，且bn=1an+3．（1）写出y=f（x）的表达式；（2）判断数列{an}的增减-数学试题及答案

1、试题题目：已知a=（2，-1），b=（22，2）．f（x）=x2+a2x+a?b，数列{an}满足a1=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知

a

=（

2

，-1），

b

=（

2

，2）．f（x）=x²+

a

²x+

a

?

b

，数列{a_n}满足a₁=1，3a_n=f （a_n-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{b_n}前n项和为S_n，且b_n=

1

an+3

．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{a_n}的增减性；
（3）是否存在n₁，n₂（n₁，n₂∈N*），使S n1≥1或S n2＜

1

4

，如果存在，求出n₁或n₂的值，如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

a

2=(

2

)2+1=3，

a

?

b

=

2

×

2

-1×2=-1，
∴f （x）=x²+3x-1．
（2）∵3a_n=

a

2n-1

+3a_n-1-1+1，∴3（a_n-a_n-1）=

a

2n-1

≥0，
∵a₁=1≠0，∴a_n＞a_n-1
∴数列{a_n}单调递增．
（3）由3a_n=a_n-1（a_n-1+3）得出

1

an-1+3

=

an-1

3an

，
∴b_n=

1

an+3

=

an

3an+1

=

a

2n

3anan+1

=

3an+1-3an

3anan+1

=

1

an

-

1

an+1

．
∴S_n=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)
=1-

1

an+1

．
由（2）知a_n单调递增，且a₁=1，∴a₂=

4

3

，a_n+1≥a₂=

4

3

．
∴0＜

1

an+1

≤

3

4

，∴-

3

4

≤-

1

an+1

＜0，
∴

1

4

≤S_n＜1．
故不存在n₁使Sn1≥1，也不存在n₂，使Sn2＜

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a=（2，-1），b=（22，2）．f（x）=x2+a2x+a?b，数列{an}满足a1=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：