已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a2n-2an+22an，且an＞0，n∈N+．（1）求a1，a2，a3；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a2n-2an+22an，且an＞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a

2n

-2an+2

2an

，且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a1=S1=

a

21

-2a1+2

2a1

，所以，a1=-1±

3

，又∵a_n＞0，所以a1=

3

-1.S2=a1+a2=

a2

2

+

1

a2

-1，所以 a2=

5

-

3

，S3=a1+a2+a3=

a3

2

+

1

a3

-1所以a3=

7

-

5

．
（2）猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
证明：1°当n=1时，由（1）知a1=

3

-1成立．2°假设n=k（k∈N₊）时，ak=

2k+1

-

2k-1

成立ak+1=Sk+1-Sk=(

ak+1

2

+

1

ak+1

-1)-(

ak

2

+

1

ak

-1)=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

2k+1

．
所以

a

2k+1

+2

2k+1

ak+1-2=0ak+1=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

所以当n=k+1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N₊都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a2n-2an+22an，且an＞..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：