设数列{an}的首项a1∈（0，1），an+1=3-an2（n∈N+）（I）求{an}的通项公式；（II）设bn=an3-2an，判断数列{bn}的单调性，并证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的首项a1∈（0，1），an+1=3-an2（n∈N+）（I）求{an}的通项公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的首项a₁∈（0，1），a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊）
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=a_n

3-2an

，判断数列{b_n}的单调性，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），递推公式两边同减去1得出，
a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

(an -1)，
故{a_n-1}为等比数列，且首项为a₁-1，公比为-

1

2

，
根据等比数列通项公式可得{a_n-1} 的通项公式为
an-1=(a1-1)(-

1

2

)n-1
∴{a_n}的通项公式为
an=1+(a1-1)(-

1

2

)n-1
（Ⅱ）是递增数列．
证明如下：
∵0＜a₁＜1，
∴-1＜a₁-1＜0，
又当n≥2时，(-

1

2

)n-1＞-

1

2

根据不等式的性质得出
0＜(a1-1)(-

1

2

)n-1＜

1

2

∴an∈(0，1)∪(1，

3

2

)．?bn=an

3-2an

＞0
∴b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=(

3-an

2

)2an-

a

2n

(3-2an)=

9

4

an(an-1)2＞0
∴b_n+1²＞b_n²?b_n+1＞b_n．
故{b_n}为递增数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的首项a1∈（0，1），an+1=3-an2（n∈N+）（I）求{an}的通项公..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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