一数列{an}的前n项的平均数为n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an2n+1，证明数列{bn}是递增数列；（3）设f(x)=-x23+4x3-an2n+1，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自-数学试题及答案

1、试题题目：一数列{an}的前n项的平均数为n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

一数列{a_n}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n+1

，证明数列{b_n}是递增数列；
（3）设f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

an

2n+1

，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得n=

a1+a2+…+an

n

，∴Sn=n2，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n=

an+1

2n+3

-

an

2n+1

=

2n+1

2n+3

-

2n-1

2n+1

=

(2n+1)2-(2n-1)(2n+3)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴b_n+1＞b_n对于任意正整数n都成立，因此数列{b_n}是递增数列．
（3）∵bn=

2n-1

2n+1

递增，∴有最小值

1

3

，
∴f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，解得x²-4x+1≥0，x≥2+

3

，或x≤2-

3

．
所以M=2-

3

．
存在最大的数M=2-

3

，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一数列{an}的前n项的平均数为n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设b..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：