已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥11+x-1(1+x)2(23n-x)，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an＞n2n+1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an＞

n2

n+1

．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵an+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

an

-1=

2

3

，
∴(

1

an

-1)是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴

1

an

-1=

2

3

?

1

3n-1

=

2

3n

，∴an=

3n

3n+2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

+1-1-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

[

1

an

-(1+x)]=-

1

an

?

1

(1+x)2

+

2

1+x

=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an≤a_n，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有a1+a2++an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

-x)+

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

32

-x)++

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

++

2

3n

-nx)．
∴取x=

1

n

(

2

3

+

2

32

++

2

3n

)=

2

3

(1-

1

3n

)

n(1-

1

3

)

=

1

n

(1-

1

3n

)，
则a1+a2++an≥

n

1+

1

n

(1-

1

3n

)

=

n2

n+1-

1

3n

＞

n2

n+1

．∴原不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：