数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令cn=(3n+1)?an2（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

(3n+1)?an

2

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2满足该式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n…（5分）
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n?3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）
①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
∴H_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

，…（11分）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

+

n(n+1)

2

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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