数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项的和，满足Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2），令bn=1anan+1（1）写出数列{an}的前四项，并求数列{an}的通项公式（2）若f（x）=2x-1，求和：b1f（1）+b2f?（2）+…+b-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项的和，满足Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a₁=3，S_n为其前n项的和，满足S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2），令bn=

1

anan+1

（1）写出数列{a_n}的前四项，并求数列{a_n}的通项公式
（2）若f（x）=2^x-1，求和：b₁f（1）+b₂f?（2）+…+b_nf（n）
（3）设cn=

n

an

，求证：数列{c_n}的前n项和Q_n＜2．

试题来源：汕头模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）数列的前四项：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17（2分）
S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）?a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2）（3分）
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+?+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1??+2^n-2++2²+2?+3=2ⁿ+1
经验证a1也符合，所以a_n=2ⁿ．+1（5分）
（2）bnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，（7分）
∴b₁f（1）+b₂f（?2）+…+b_nf（n）=

1

2

(

1

2+1

-

1

22+1

)+

1

2

(

1

22+1

-

1

23+1

)+

1

2

(

1

23+1

-

1

24+1

)+…+

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)=

1

6

-

1

2n+2+2

（9分）
（3）由cn=

n

2n-1

＜

n

2n

得Qn=

1

2+1

+

1

22+1

+…+

1

2n+1

＜

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

（11分）
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
相减，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1

2

×(1-

1

2n

)

1-

1

2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

所以Tn=2-

n+2

2n

所以Qn＜

1

2

+

2

23

+…+

n

2n

=2-

n+2

2n

＜2（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项的和，满足Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：