已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+16＞bn恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得a_n+1-a_n-2n-2=0，则a_n+1-a_n=2n+2，
∴a_n-a_n-1=2n（n≥2），
∴a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，…，a_n-a_n-1=2n，
通过叠加得a_n=2（2+3+…+n）+a₁
=2×

(n-1)(n+2)

2

+2=n（n+1）（n≥2）．
又∵a₁=2符合此通项公式，
∴a_n=n（n+1），
（2）由（1）得，bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+

1

(n+3)(n+4)

+…+

1

2n(2n+1)

=（

1

n+1

-

1

n+2

）+（

1

n+2

-

1

n+3

）+（

1

n+3

-

1

n+4

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）
=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

2n+

1

n

+3

，
设y=2x+

1

x

+3，则函数在（

2

，+∞）上递增，
∴当n=1时，2n+

1

n

+3取到最小值为6，
∴b_n的最大值为b1=

1

6

，
故要使不等式t2-2mt+

1

6

＞bn对一切m∈[-1，1]成立，
须使t2-2mt+

1

6

＞

1

6

，即t²-2mt＞0对一切m∈[-1，1]恒成立．
设g（m）=t²-2mt，
当t=0时，g（m）＞0不成立，
当t≠0时，g（m）是一次函数，
则

g(1)＞0

g(-1)＞0

，即

t2-2t＞0

t2+2t＞0

，解得t＞2或t＜-2，
综上得，t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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