已知函数f（x）=a?2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*．（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（Ⅱ）若{cn}中，cn=n（6an-1），求数列{cn}的前-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a?2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a?2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与

23n2-13n

2

的大小并说明理由．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题14分）
（Ⅰ）由f（x）=a?2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点?

2a+b=1

4a+b=3

?

a=1

b=-1

，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的图象上?Sn=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n?2n-n?Tn=3(1?21+2?22+…+n?2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1?21+2?22+…+n?2n，
由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故Tn=3Pn-

n(n+1)

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由Tn-

23n2-13n

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

-

23n2-13n

2

=6(n-1)[2n-(2n+1)]
当n=1时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，Tn=

23n2-13n

2

当n=2时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，Tn＜

23n2-13n

2

当n=3时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，Tn＞

23n2-13n

2

下证n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

，
即证n≥3时，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3时，2n=(1+1)n=

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

≥

C

0n

+

C

1n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

=2n+2＞2n+1成立，
∴n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

成立，
综上所述：n=1时，Tn=

23n2-13n

2

；
n=2时，Tn＜

23n2-13n

2

；
n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a?2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：