设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，求数列{bn}的前n项的和Tn．（3）是否存在自然数m，使得m-24＜Tn＜m5对一切n∈N*恒成立？若-数学试题及答案

1、试题题目：设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．（1）求{an}的通项公式；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

，求数列{b_n}的前n项的和T_n．
（3）是否存在自然数m，使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S_n=n²，∴当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
a₁=1满足上式，∴a_n=2n-1；
（2）由b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

4

?

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
（3）T_n+1-T_n=

n+1

4(n+2)

-

n

4(n+1)

=

1

4(n+1)(n+2)

＞0，∴{T_n}单调递增，∴T_n≥T₁=

1

8

∵T_n=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，∴

1

8

≤T_n＜

1

4

使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立，则

1

4

≤

m

5

m-2

4

＜

1

8

∴

5

4

≤m＜

5

2

∵m是自然数，∴m=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．（1）求{an}的通项公式；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：