各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，-数学试题及答案

1、试题题目：各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜k恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵Sn=(

an+1

2

)2，
∴Sn-1=(

an-1+1

2

)2，n≥2，
两式相减得an=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，n≥2，…（2分）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2，∴{a_n}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(

a1+1

2

)2得a₁=1，∴a_n=2n-1．…（5分）
（2）由题意得k＞(

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

)max，
∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（8分）∴k≥

1

2

…（10分）
（3）对任意m∈N₊，2^m＜2n-1＜2^2m，则2m-1+

1

2

＜n＜22m-1+

1

2

，
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=

2-22m+1

1-22

-

1-2m

1-2

=

22m+1-2

3

-(2m-1)=

22m+1-3?2m+1

3

，
即Sm=

22m+1-3?2m+1

3

．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：