已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；（3）若存在n∈N*，使关于n的不等式an≤（n+1）λ成立，求常-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n≥1，n∈Z)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an(n≥2)-------（1分）
两式相减得nan=

n+1

2

an+1-

n

2

an
所以

(n+1)an+1

nan

=3(n≥2)------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2?3n-2(n≥2)----（3分）
故an=

1，n=1

2

n

?3n-2，n≥2

------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n?3n-2
当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4?31+…+2(n-1)?3n-2+2n?3n-1，------------（6分）
两式相减得Tn=

1

2

+(n-

1

2

)??3n-1(n≥2)------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=

1

2

+(n-

1

2

)??3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等价于λ≥

an

n+1

，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，

an

n+1

=

2?3n-2

n(n+1)

设f(n)=

n(n+1)

2?3n-2

(n≥2，n∈N*)，则f(n+1)-f(n)=

n(n+1)(1-n)

2?3n-1

＜0，------------（12分）
∴

1

f(n+1)

≥

1

f(n)

，
又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，∴所求实数λ的取值范围为λ≥

1

3

，
∴λmin=

1

3

-----（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：