已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=-anbn，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2+…+

1

3

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_n=n．
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，
则（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=(

1

3

)n-2++

1

3

+1，（n≥2）
两式相减得：b 1+b2++bn=(

1

3

)n-1，n≥2．
即数列{b_n}的前n项和Sn=(

1

3

)n-1，n≥2．
当n=1时，b₁=S₁=1，所以Sn=(

1

3

)n-1．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

1

3

)n-1-(

1

3

)n-2=-

2

3

?(

1

3

)n-2．
所以bn=

1，(n=1)

-

6

3n

，(n≥2)

．（7分）

（Ⅱ）因为c_n=-a_nb_n，所以cn=

-1，(n=1)

6n

3n

，(n≥2)

．
当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，
设Tn=-1+

6×2

32

+

6×3

33

+

6×4

34

++

6×n

3n

=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)．
令T=

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

，则

1

3

T=

2

33

+

3

34

+

4

35

++

n-1

3n

+

n

3n+1

，
两式相减得：

2

3

T=

2

32

+

1

33

+

1

34

++

1

3n

-

n

3n+1

=

2

9

+

1

27

(1-

1

3n-2

)

1-

1

3

-

n

3n+1

=

5

18

-

1

2

?

1

3n

-

n

3n+1

，
所以T=

5

12

-

3

4

?

1

3n

-

1

2

?

n

3n

．
因此T_n=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)=-1+6(

5

12

-

3

4

?

1

3n

-

1

2

?

n

3n

)=

3

2

-

1

2

?

9

3n

-

3n

，n≥2．（13分）
又n=1时，T₁=-1也满足上式，故T_n=

3

2

-

1

2

?

9

3n

-

3n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：