设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）若0＜an＜1对任意-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设得：n≥2时，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
当n=1时，a₁=a也满足上式．
故所求的数列{a_n}的通项公式为：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(

1

2

)n.Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n，

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
所以∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．
因为0＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．
由于c^n-1＞0对于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=c^x的图象知，当n→+∞时，c^n-1→+∞，
所以cn-1＜

1

1-a

不能对任意n∈N₊恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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