已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2）．（1）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn；（2）若cn=tn[lg（2t）n+lgan+2]（0＜t＜1），且数列{cn}中的每一项总小-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n} 中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2），∴3a_n=5a_n-a_n-1，化为an=

1

2

an-1．
∴数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴an=2×(

1

2

)n-1=2^2-n．
∴bn=(2n-1)?22-n．
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1+…+（2n-3）×2^3-n+（2n-1）?2^2-n，
2T_n=1×2²+3×2¹+…+（2n-3）?2^4-n+（2n-1）?2^3-n．
∴T_n=4+2×2¹+2×2⁰+…+2×2^3-n-（2n-1）?2^2-n．
=2×

4(1-

1

2n

)

1-

1

2

-4-（2n-1）?2^2-n
=16(1-

1

2n

)-4-（2n-1）2^2-n
=12-

16

2n

-（2n-1）?2^2-n．
（2）cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntⁿ[lg（2t）-1]．
∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿ[lg（2t）-1]＜（n+1）tⁿ⁺¹[lg（2t）-1]．（*）
∵0＜t＜1，∴0＜2t＜2，∴lg（2t）＜1．
∴（*）化为n＞（n+1）t，∴t＜

n

n+1

．
∵

n

n+1

随着n的增大而减小，
∴t＜

1

2

．
而0＜t＜1．
得到0＜t＜

1

2

．即为t的取值范围．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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