已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．（1）求抛物线的方程；（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．（1）求抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值；
（3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得

1

|PM|

+

1

|PN|

为定值？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设抛物线C的方程是x²=ay，
则

a

4

=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=

2

|x2-x1| =4

2(1+m)

，
∴S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)

m

m＜-

2

3

-

2

3

-

2

3

＜m＜0

3m²+2m

+

0

-

∴当m=-

2

3

时，S_△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入方程，得x²-4kx-4m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
①当m＜0时，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

（

1

|x1|

+

1

|x2|

）=

|4k|

-4m

1+k2

不是定值．
②当m＞0时，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

|x1-x2|

|x1x2|

=

|x1-x2|

|x1x2|

=

m+k2

m

1+k2

，
在上式中，令k=0，1，得

m

=

m+1

2

，m=1，
∴m=1时，

1

|PM|

+

1

|PN|

为定值，
存在点P（0，1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．（1）求抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：