已知椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切．（1）求抛物线C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

试题来源：韶关二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2．∴抛物线C的方程：y²=4x．
∵点M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴

y

21

=4x1，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)．
代入抛物线C得

y

21

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．
∴x1x2-(

x

21

+1)x+x1=0
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=(

x

21

+1)2-4

x

21

=0，∴x₁=1．
∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A(

y

21

4

，y1)，B(

y

22

4

，y2)．
则kMA=

y1-2

y

21

4

-1

=

4

y1+2

，同理kMB=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0，
化为y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB=

y2-y1

y

22

4

-

y

21

4

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
所以直线AB的斜率为定值-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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