已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（85，45），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N（1）求抛物线的方程；（2）直线MN是否-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（85，45），线段OP的垂直平分线经..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（

8

5

，

4

5

），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N
（1）求抛物线的方程；
（2）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），
∴k_OP=

1

2

，线段OP的中点为：（

4

5

，

2

5

），
∴OP的垂直平分线所在直线方程y-

2

5

=-2(x-

4

5

)，即2x+y-2=0．
令y=0，解得：x=1，故得：p=2
抛物线方程为：y²=4x…..（4分）
（2）假设直线MN国定点
设A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）
与抛物线联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x_A+x_B=2+

4

k 2

∴x_M=

2

k 2

+1
∴点M的坐标为（

2

k 2

+1，-2k）
当k≠±1
直线MN的斜率为：

k

1-k 2

方程为：y+2k=

k

1-k 2

（x-2k²-1
整理得：y（1-k²）=k（x-3）
直线恒经过定点（3，0）
当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）
综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（85，45），线段OP的垂直平分线经..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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