已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(12，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．（1）求该抛物线的方程；（2）设M（x0，y0）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互-数学试题及答案

1、试题题目：已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(12，m)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(

1

2

，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x₀，y₀）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x₀+2，-y₀）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可设抛物线的方程为y²=2px，则由抛物线的定义可得

p

2

+

1

2

=1，即p=1，
所以抛物线的方程为 y²=2x．
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．
所以y₁+y₂=2m，y₁y=-2n，其中y₁，y₂分别是P，Q的纵坐标，
因为MP⊥MQ，所以k_MP?k_MQ=-1．
即

y1-y0

x1-x0

?

y2-y0

x2-x0

=-1，所以（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4．
y1?y2+(y1+y2)y0+y02+4=0，（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，即n=my₀+x₀+2．
所以直线PQ的方程为x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定过定点（x₀+2，-y₀）．
（3）假设N（x₀，y₀）为满足条件的点，则由（2）知，点（x₀+2，-y₀）在直线x+my+1=0上，
所以x0+2-my0+1=0，(x0，y0)是方程组

y2=2x

x-my+3=0

的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0所以存在点N满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(12，m)，..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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