设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．（Ⅰ）求此抛物线方程；（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且FB=λAF，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．（Ⅰ）求此抛物线方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．
（Ⅰ）求此抛物线方程；
（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

试题来源：宜宾模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y²=4x
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）
由

y=k(x-1)

y2=4x

消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）则x1+x2=2+

4

k2

，x₁?x₂=1
因为

FB

=λ

AF

，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是

x2-1=λ-λx1

y2=-λy1

由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²?4x₂=λ²?4x₁?x₂=λ²?x₁，
又x₁?x₂=1，
消x₂得λ²?x₁²=1，
因为x₁＞0，所以x1=

1

λ

，从而，x₂=λ．
代入x1+x2=2+

4

k2

得，

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
令y=

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
因为y=

1

λ

+λ在[4，9]上递增，
所以4+

1

4

≤y=

1

λ

+λ≤9+

1

9

，即4+

1

4

≤2+

4

k2

≤9+

1

9

?

9

4

≤

4

k2

≤

64

9

?

9

16

≤k2≤

16

9

，
于是，-

4

3

≤-k≤-

3

4

，或

3

4

≤-k≤

4

3

所以直线AB在y轴上截距的取值范围为：[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．（Ⅰ）求此抛物线方..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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