已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原-数学试题及答案

1、试题题目：已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）将E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
所以抛物线方程为y²=2x，焦点坐标为（

1

2

，0）．…（3分）
（Ⅱ）证明：设A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率
设直线l方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立得到

y=k(x-2)

y2=2x

，消去x，得：
ky²-2y-4k=0，
则由韦达定理得：
y₁y₂=-4，y1+y2=

2

k

，…（6分）
直线AE的方程为：y-2=

y1-2

y12

2

-2

(x-2)，
即y=

2

y1+2

(x-2)+2，
令x=-2，得y_M=

2y1-4

y1+2

，…（9分）
同理可得：yN=

2y2-4

y2+2

，…（10分）
又∵

OM

=(-2，yM)，

ON

=(-2，-

4

yM

)，
所以

OM

?

ON

=4+y_My_N=4+

2y1-4

y1+2

?

2y2-4

y2+2

=4+

4[y1y2-2(y1+y2)+4]

[y1y2+2(y1+y2)+4]

=4+

4(-4-

4

k

+4)

4(-4+

4

k

+4)

=0…（13分）
所以OM⊥ON，即∠MON为定值

π

2

…（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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