已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意有

(y-1)2+x2

=|y+2|-1，由显然y＞-2，得

(y-1)2+x2

=|y+1|，化简得x²=4y；
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+1

y=

1

4

x2.

可得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=

1

2

x1，kBM=

1

2

x2，
∴kAM?kBM=

1

2

x1×

1

2

x2=

1

4

x1x2=-1即AM⊥BM
（ⅱ）设点Q（0，t），此时kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=

x12

4

-t

x1

+

x22

4

-t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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