设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为54．（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交-数学试题及答案

1、试题题目：设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

设点P是曲线C：x²=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

．
∴1+

p

2

=

5

4

，解得p=

1

2

．
所以曲线C的方程为x²=y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-

1

k

，0）
联立方程组

y=k(x-1)+1

y=x2

，消去y得x²-kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1）²）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1）²）=-

1

k

(x-k+1)．
代入曲线x²=y，得x2+

1

k

x-1+

1

k

-(1-k)2=0．
解得N（1-

1

k

-k，(1-

1

k

-k)2）．…（8分）
所以直线MN的斜率k_MN=

(1-

1

k

-k)2

1-

1

k

-k-1+

1

k

=-

(1-

1

k

-k)2

k

．…（10分）
∵过点N的切线的斜率k′=2(1-

1

k

-k)．
∴由题意有-

(1-

1

k

-k)2

k

=2(1-

1

k

-k)．
∴解得k=

-1±

5

2

．
故存在实数k=

-1±

5

2

使命题成立． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：