顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．（1）求抛物线C的-数学试题及答案

1、试题题目：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
（3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算

EA

?

EB

的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．

试题来源：普陀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可可设抛物线的方程y²=2px（p＞0）
∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
∴y²=4x
（2）当 x₁≠x₂时，k_OA=k_ON，所以此时A、O、N三点共线；当 x₁=x₂时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为AB过焦点F且F（1，0），
当 x₁≠x₂时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以

x1+x2=

2k2+4

k2

x1?x2=1

当 x₁=x₂时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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