已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点．（ⅰ）设S△AOB=t?tan∠A-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，且焦点与该椭圆右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线C的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点．
（ⅰ）设S_△AOB=t?tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y²=2px（x＞0），焦点F（

p

2

，0），
∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为（1，0），
∴

p

2

=1，即p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．
联立

my=x-a

y2=4x

，消x得

y2

4

-my-a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4a，x1x2=

y

21

y

22

16

=a2，…（6分）
由S_△AOB=

1

2

|OA|?|OB|?sin∠AOB
=

1

2

|OA|?|OB|?cos∠AOB?tan∠AOB，
∴t=

1

2

|OA|?|OB|?cos∠AOB，
∵|OA|?|OB|?cos∠AOB=

OA

?

OB

=x1x2+y1y2，…（8分）
∴t=

1

2

(x1x2+y1y2)=

1

2

(a2-4a)=

1

2

(a-2) 2-2≥-2，
∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直线BD的方程为y-y₂=

y1+y2

x2-x1

?(x-x2)，
即y-y2=

y2+y1

y

22

4

-

y

21

4

?(x-

y

22

4

)
y=y2+

4

y2-y1

(x-

y

22

4

)
∴y=

4

y2-y1

x-

4

y2-y1

=

4

y2-y1

(x-1)，
∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，且焦点与该椭圆右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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