如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E。（1）证明：PA⊥BD；（2）点M为直线PA上的一点，当点-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E。

（1）证明：PA⊥BD；
（2）点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM，并证明；
（3）判断平面PAD与平面PAB是否垂直，并证明你的结论。

试题来源：河北省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵PB=PC，且O是BC的中点，
∴PO⊥BC，
又∵平面PBC⊥平面 ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BD

平面ABCD，
∴PO⊥BD，
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA= 90°，即AO⊥BD，
又∵PO∩AO=O，
∴BD⊥平面PAO，
∵PA

平面PAO，
∴PA⊥BD。

（2）解：当点M为PA的中点时符合题意。
下面证明这个结论：
连接BM、DM，由于AB=PB，则PA⊥BM，
又PA⊥BD，所以PA⊥平面BDM。
故当点M为PA中点时PA⊥平面BDM。
（3）解：平面PAD⊥平面PAB，
下面证明这个结论：
取PB的中点N，连接CN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB， ①
∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC，AB

平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB， ②
由①，②可知，CN⊥平面PAB，
连接MN，则由MN∥AB∥CD，MN=

AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形，
∴CN∥DM，DM⊥平面PAB。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面与平面垂直的判定与性质”。

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