设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是x轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+3y+3=0相切，过点P的直线与椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

设离心率e=

1

2

的椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+

3

y+3=0相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求

QA

?

QC

的取值范围．

试题来源：大连一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∵e=

1

2

，∴a=2c，
∴∠NF1P=

π

3

，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+

3

y+3=0相切，
∴2c=

|c+3|

1+(

3

)2

，解得c=1，a=2，b=

3

，
∴椭圆M的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组

x2

4

+

y2

3

=1

y=k(x-3).

，消掉y，化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4?（3+4k²）?（36k²-12）＞0，得0＜k2＜

3

5

．
则x1+x2=

24k2

4k2+3

，x1x2=

36k2-12

4k2+3

．
直线BC的方程为：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

y1x2+y2x1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=

72k2-24

4k2+3

-

72k2

4k2+3

24k2

4k2+3

-6

=

4

3

．
∴Q点坐标为(

4

3

，0)．

QA

?

QC

=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+y1y2=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+

4

3

)(x1+x2)+9k2+

16

9

=(1+k2)?

36k2-12

4k2+3

-(3k2+

4

3

)?

24k2

4k2+3

+9k2+

16

9

=

19k2-12

4k2+3

+

16

9

=

235

36

-

105

16k2+12

．
∵0＜k2＜

3

5

，
∴

QA

?

QC

∈(-

20

9

，

5

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：