已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP=λPB，λ＞0，其中点P坐标为（0，1），OM=OA+OB，O为坐标原点．（1）求四边形OAMB的面积的最小值；（2）求点M的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP=λPB，λ＞0，其中点P坐标为（0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=x²上的两点A、B满足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中点P坐标为（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O为坐标原点．
（1）求四边形OAMB的面积的最小值；
（2）求点M的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三点在同一条直线上，
设该直线方程为y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1

y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四边形，
∴四边形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|?|

OB

|
=

x

21

+

x

41

?

x

22

+

x

42

=-x₁x₂

(1+

x

21

)(1+

x

22

)

=

1+

x

21

+

x

22

+(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴当k=0时，S取得最小值是2．
（Ⅱ）设M（x，y），
∴

x=x1+x2

y=

x

21

+

x

22

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴点M的轨迹是y=x²+2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP=λPB，λ＞0，其中点P坐标为（0..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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