已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e＞1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e＞1+2，左、右焦点分别为F1、F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e＞1+

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|?d，由双曲线的第二定义知

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=

2a

e-1

，|PF₂|=

2ae

e-1

，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴

2a

e-1

+

2ae

e-1

≥2c．③
利用e=

c

a

，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-

2

≤e≤1+

2

．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+

2

与已知e＞1+

2

矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e＞1+2，左、右焦点分别为F1、F..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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