已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f'（x）=0的两个根
∴

即

所以

；
（2）

令

∴

当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

由上表可知：g（x）极大值=g（3）=t；g（x）极小值=g（1）=

∵

∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）>0
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，
或

∴

或

所以存在t且t=0或

符合题目要求。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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