已知函数（m、n为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n的值；（2）若f（x）在（﹣∞，x1）、（x2，+∞）上单调递增，且在（x1，x2）上单调递减，又满足x2﹣x1＞1．求证：m2＞2（m+2n）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数（m、n为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数

（m、n为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在（x₁，x₂）上单调递减，又满足x₂﹣x₁＞1．求证：m²＞2（m+2n）．

试题来源：重庆市期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵函数

（m、n为常数），
∴f'（x）=x²+（m﹣1）x+n
据题意知1、3是方程x²+（m﹣1）x+n=0的两根，
∴1﹣m=1+3=4，n=1×3=3，即m=﹣3，n=3
（2）由题意知，
当x∈（﹣∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0
∴

则x₁+x₂=1﹣m，x₁x₂=n
∴m=1﹣（x₁+x₂），n=x₁x₂∴m²﹣2（m+2n）=m²﹣2m﹣4n
=

=

∵x₂﹣x₁＞1，
∴

，
∴m²＞2（m+2n）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数（m、n为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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