给定函数f（x）=-ax2+（a2-1）x和g（x）=x+。（1）求证：f（x）总有两个极值点；（2）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值。-数学试题及答案

1、试题题目：给定函数f（x）=-ax2+（a2-1）x和g（x）=x+。（1）求证：f（x）总有两个极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

给定函数f（x）=

-ax²+（a²-1）x和g（x）=x+

。
（1）求证：f（x）总有两个极值点；
（2）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：因为f′（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+ 1）]·[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，
解得x₁=a+1，x₂=a-1，
当x＜a-1时f′（x）＞0；
当a-1＜x＜a+1，f′（x）＜0，
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点，
所以f（x）总有两个极值点；
（2）因为

，
令g′（x）=0，则x₁=a，x₂=-a，
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，

；
当-a=a-1时，

，
经检验，当

和

时，x₁=a，x₂=-a都是g（x）的极值点。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定函数f（x）=-ax2+（a2-1）x和g（x）=x+。（1）求证：f（x）总有两个极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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