设函数f(x)=x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f(x)有极小值，(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f(x)有极小值，(Ⅰ)若b=-6时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f(x)有极小值，
(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，证明：函数g(x)=f(x)-

x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点。

试题来源：江苏模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)因为f(x)=

x⁴+bx²+cx+d，
所以h(x)=f′(x)=x³-12x+c，
由题设，方程h(x)=0有三个互异的实根，
考察函数h(x)=x³-12x+c，则h′(x)=0，得x=±2，

所以

，故-16＜c＜16。
(Ⅱ)存在c∈（- 16，16），使f′(x)≥0，即x³-12x≥-c，(*)
所以x³-12x＞-16，
即(x-2）²(x+4)＞0(*)在区间[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以，

或m-2＞2，即-2＜m＜0或m＞4。
(Ⅲ)由题设，可得存在α，β∈R，
使f′(x)=x³+2bx+c=(x-t₁)(x²+αx+β)，且x²+αx+β≥0恒成立，
又f′(t₂)=0，且在x=t₂两侧同号，
所以f′(x)=(x-t₁)(x-t₂)²，
另一方面，g′(x)=x³+(2b-1)x+t₁+c=x³+2bx+c-(x-t₁)=(x-t₁)[(x-t₂)²-1]，
因为t₁＜x＜t₂，且t₂-t₁＜1，
所以-1＜t₁-t₂＜x-t₂＜0，
所以0＜(x-t₂)²＜1，
所以(x-t₂)²- l＜0，而x-t₁＞0，
所以g′(x)＜0，所以g(x)在(t₁，t₂)内单调递减，
从而g(x)在(t₁，t₂)内最多有一个零点。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f(x)有极小值，(Ⅰ)若b=-6时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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