给定曲线f（x）=ax3+x2（a≠0）．（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，求切线方程；（2）若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条，求点Q的坐标；（3）若x∈（0，1）时，以曲线段上任一点为切-数学试题及答案

1、试题题目：给定曲线f（x）=ax3+x2（a≠0）．（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

给定曲线f（x）=ax³+x²（a≠0）．
（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，求切线方程；
（2）若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条，求点Q的坐标；
（3）若x∈（0，1）时，以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=x³+x²，f'（x）=3x²+2x
①当P（1，2）为切点时，切线斜率k=f'（1）=5，此时切线方程为y-2=5（x-1），即y=5x-3．
②当P（1，2）不是切点时，设切点为T（x₀，x₀³+x₀²），切线斜率k=f'（x₀）=3x₀³+2x₀
另一方面，k=k_PT=

x

30

+

x

20

-2

x0-1

∴

x

03

+

x

02

-2

x0-1

=3

x

02

+2

x

0

，(

x

0

-1)2(

x

0

+1)=0
∵x₀≠1，∴x₀=-1，∴T（-1，0），此时切线y=x+1
综上，所求的切线为y=5x-3或y=x+1．
（2）设Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q为切点时必然存在一条切线．
切线斜率k=f'（x₁）=3ax₁²+2x₁，
切线方程为：y-（ax₁³+x₁²）=3（ax₁²+2x₁）（x-x₁），联立曲线y=ax³+x²，
得（x-x₁）[ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁]=0，
由于这样的切线只有一条，所以上述关于x的方程只有一个根x₁，
即二次方程ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁=0只有一个根x₁，
显然把x=x₁代入满足，故△=（ax₁+1）²+4a（2ax₁²+x₁）=0
化简为：△=9a²x₁²+6ax₁+1=（3ax₁+1）²=0，解得x₁=-

1

3a

，得Q(-

1

3a

，

2

27a2

)
（3）由题意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立
∴

-1-2x

3x2

≤a≤

1-2x

3x2

∵

1-2x

3x2

=

1

3

(

1

x2

-2

1

x

)=

1

3

[(

1

x

-1)2-1]＞-

1

3

，

-1-2x

3x2

=-

1

3

(

1

x2

+2

1

x

)=-

1

3

[(

1

x

+1)2-1]＜-1，
∴-1≤a≤-

1

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定曲线f（x）=ax3+x2（a≠0）．（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：