已知函数f（x）=2ax+1x+（2-a）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）-f（x2）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2ax+1x+（2-a）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2ax+

1

x

+（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题可知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2a-

1

x2

+

2-a

x

=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+

1

a

)

x2

．--------（2分）
（Ⅰ）当a=-1时，f′(x)=

-(2x-1)(x-1)

x2

，
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1；
令f'（x）＞0，解得

1

2

＜x＜1，
所以f（x）的单调递减区间是(0 ，

1

2

)和（1，+∞），单调递增区间是(

1

2

， 1)；--（5分）
所以当x=

1

2

时，f（x）的极小值为f(

1

2

)=1-3ln2；
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=-1．--------------------（7分）
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，f（x）的单调递减区间是(0 ， -

1

a

)，(

1

2

， +∞)，
单调递增区间是(-

1

a

，

1

2

)，
所以f（x）在[1，3]上单调递减，-----------------------------------（9分）
所以f（x）_max=f（1）=2a+1，f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+

1

3

+6a．
所以|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(3)=(1+2a)-[(2-a)ln3+

1

3

+6a]=

2

3

-4a+(a-2)ln3．------------------------------------------（11分）
因为存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
所以

2

3

-4a+(a-2)ln3＞(m+ln3)a-2ln3，----------------------（12分）
整理得ma＜

2

3

-4a．
又a＜0，所以m＞

2

3a

-4，又因为-3＜a＜-2，得-

1

3

＜

2

3a

＜-

2

9

，
所以-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，所以m≥-

38

9

．------------------------（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2ax+1x+（2-a）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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