已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（Ⅱ）若函数y=x2+x-5的图象与函数y=k-2x的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围；（Ⅲ）记函数|f‘（x）|（-1≤x-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；
（Ⅱ）若函数y=x²+x-5的图象与函数y=

k-2

x

的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）记函数|f'（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥

3

2

．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c，由题知f′（1）=0?3+2b+c=0，f′（1）=-1?1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（2分）f（x）=x³+x²-5x+2，f′（x）=3x²+2x-5f（x）在(-

5

3

，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数∴b=1，c=-5符合题意．（3分）
（Ⅱ）即方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三个不同的x³+x²-5x+2=k（x≠0）
即当x≠0时，f（x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，
由（1）知f（x）在(-∞，-

5

3

)为增函数，f（x）在(-

5

3

，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数，
又f(-

5

3

)=

229

27

，f（1）=-1，f（0）=2
∴-1＜k＜

229

27

且k≠2（8分）
（Ⅲ）|f′(x)|=|3x2+2bx+c|=|3(x+

b

3

)2+c-

b2

3

|
①当|-

b

3

|≥1即|b|≥3时，M为|f′（1）|与|f′（-1）|中较大的一个
2M≥|3+2b+c|+|3-2b+c|≥|3+2b+c-（3-2b+c）|=|4b|≥12
∴2M≥6，M≥3，满足M≥

3

2

②当|-

b

3

|≤1即-3≤b≤3时，M为|f′(1)|，|f′(-1)|，|f′(-

b

3

)|中较大的一个4M≥|f′(1)|+|f′(-1)|+|f′(-

b

3

)|+|f′(-

b

3

)|=|3+2b+c|+|3-2b+c|+2|c-

b2

3

|≥|3+2b+c+3-2b+c-2c+

2b2

3

|=|6+

2

3

b2|≥6
∴M≥

3

2

综合①②可知M≥

3

2

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：