已知函数f（x）=（2x+a）?ex（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小值；（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e2成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（2x+a）?ex（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（2x+a）?e^x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求实数a的取值范围．

试题来源：温州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=（2x+a+2）?e^x，
当x＜-

a

2

-1时，f′（x）＜0，当x＞-

a

2

-1时，f′（x）＞0，
∴函数在(-∞，-

a

2

-1)上为减函数，在(-

a

2

-1，+∞)上为增函数，
∴x=-

a

2

-1时，函数取得极小值，极小值为f(-

a

2

-1)=-2e

a

2

-1；
（2）由（1）知-

a

2

-1≤-1，即a≥0时，f（x）在[-1，1]上为增函数
∴f（x）_max=f（1），f（x）_min=f（-1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(-1)≥-2

f(1)≤e2

∴

(a-2)e-1≥-2

(a+2)e≤e2

∴0≤a≤e-2
-

a

2

-1≥1，即a≤-4时，f（x）在[-1，1]上为减函数
∴f（x）_max=f（-1），f（x）_min=f（1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(1)≥-2

f(-1)≤e2

∴

(a+2)e≥-2

(a-2)e-1≤e2

，无解；
-1＜-

a

2

-1＜1，即-4＜a＜0时，f（x）在[-1，-

a

2

-1）上为减函数，在[-

a

2

-1，1）上为增函数
∴f（x）_max={f（-1），f（1）}，f（x）_min=f(-

a

2

-1)
∴

(a+2)e≤e2

(a-2)e-1≤e2

-2e

a

2

-1≥-2

∴-2≤a＜0
综上，a的取值范围为-2≤a≤e-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（2x+a）?ex（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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