已知函数f（x）=3x2+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{an}满足an＞0，且a1=1，f（an+an+1）-g（an+1an+an2）=1．（1）求{an}的通项公式；（2）若{an}的前n项和为Sn，求limn→∞Sn.-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3x2+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{an}满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前n项和为Sn，求

lim

n→∞

Sn.

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=3x²+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即3（-x）²+b（-x）+1=3x²+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x²+1．
∵g（x）=5x+c是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．
f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．
∴3a_n+1²+a_na_n+1-2a_n²=0．
∴(3an+1-2an)(an+1+an)=0．∴

an+1

an

=

2

3

.
∴数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列，
∴的通项公式为an=(

2

3

)n-1.
（2）由（I）可求得Sn=

1-(

2

3

)n

1-

2

3

=3-3(

2

3

)n．∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[3-3(

2

3

)n]=3.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3x2+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{an}满..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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