已知函数f（x）=x（1+x）2（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）设g（x）=ax2，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x（1+x）2（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）设g（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=ax²，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为f（x）=x³+2x²+x
所以函数的导数f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

1

3

因为当x＜-1或x＞-

1

3

时，f′（x）＞0；当-1＜X＜

1

3

时f′（x）＜0
所以的单调增区间是（-∞，-1）和（-

1

3

，+∞）
的单调减区间是(-1，-

1

3

)
所以f（-1）=0是f（x）的极大值，f(-

1

3

)=-

4

27

是f（x）的极小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x³+2x²+x-ax²=x[x²+（2-a）x+1]
由已知x[x²+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立，
即a-2≤

1

x

+x恒成立．
因为x＞0，所以

1

x

+x≥2，（当且仅当x=1时取“=”号），
所以

1

x

+x的最小值为2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立时，实数a的取值范围是（-∞，4]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x（1+x）2（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）设g（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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