已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴

3+2a+b=3

3-a=1

，解得

a=2

b=-4

，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=

2

3

或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：

x

-3

（-3，-2）

-2

(-2，

2

3

)

2

3

(

2

3

，1)

1

f'（x）

+

-

+

f（x）

8

增

极大值

减

极小值

增

4

∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为f(

2

3

)=

95

27

，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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