发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-15 07:30:00
| 试题原文 |
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| （Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，f'（x）=-3x2+2x 令f′（x）=0得x=0或x=
当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x＜
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0 当x=
（Ⅱ）①由（1）知当-1≤x≤1时，f（x）在x=
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．（4分） ②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时， f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最大值为a． 所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a； 当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．（8分） （Ⅲ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形， 则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1． 因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以
即：-t2+f（t）?（t3+t2）=0（1）…（10分） 是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解． 若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解． 若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h'（x）=lnx+
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0， 所以当a＞0时，方程
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q， 使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2，x＜1alnxx≥1.（Ⅰ）当x＜1时，求函数f（x）的极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。