已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=3时-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=3时，若方程f（x）=0有三个根，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数得f′（x）=ax²-（a+1）x+1
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a(x-

1

a

)(x-1)
①当0＜a＜1，即

1

a

＞1时，函数f（x）在区间（-∞，1）及（

1

a

，+∞）上为增函数；在区间（1，

1

a

）上为减函数；
②当a＞1，即

1

a

＜1时，函数f（x）在区间（-∞，

1

a

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

a

，1）上为减函数；
（3）由（2）得，函数f（x）在区间（-∞，

1

3

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

3

，1）上为减函数；
∴f(x)极大值=f(

1

3

)=

4

27

+b，f（x）_极小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三个根，
∴f(x)极大值=f(

1

3

)=

4

27

+b＞0，f（x）_极小值=f（1）=b＜0
∴-

4

27

＜b＜0
∴b的取值范围为(-

4

27

，0)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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