设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？
（3）设函数g（x）=e^x-2x²+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（e⁷＞10³）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f′（x）=3x²-4x+1=0，得x₁=

1

3

，x₂=1，
列表讨论

x

（-∞，

1

3

）

1

3

（

1

3

，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↑

极大值

↓

极小值

↑

由上表知：f（x）的增区间是（-∞，

1

3

），（1，+∞），减区间是（

1

3

，1），
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx=x³-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x³-2axlnx=0，得x²=2alnx，
∴当0≤a＜e时，函数零点的个数为0；
当a＜0或a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=e^x-2x²+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x³+2x²-x≤x+m≤e^x-2x²+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h₁（x）=x+m-（3-x³+2x²-x）=x³-2x²+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h₁′（x）=3x²-4x+2=3（x-

2

3

）²+

2

3

≥

2

3

，
∴h₁（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h₁（x）在[0，+∞）上的最小值h₁（x）_min=h₁（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h₂（x）=e^x-2x²+4x+t-x-m=e^x-2x²+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h₂（x）=e^x-2x²+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h₂（0）=1+t≥3，
∴t≥2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x（x-1）2．（1）求f（x）的极小值；（2）讨论函数F（x）=f（x）+2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：