已知函数f(x)=ax3-32(a+2)x2+6x-3．（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax3-32(a+2)x2+6x-3．（1）当a＞2时，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．

试题来源：甘肃模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
∵a＞2，∴

2

a

＜1
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＞0；
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）内单调递增，在(

2

a

，1)内单调递减
故f（x）的极小值为f(1)=-

a

2

（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点．
②若a＜0，则

2

a

＜1，
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＜0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＞0
∴f（x）的极大值为f(1)=-

a

2

＞0
∵f（x）的极小值为f(

2

a

)＜0
∴f（x）的图象与x轴有三个公共点．
③若0＜a＜2，则

2

a

＞1．
∴当x＜1或x＞

2

a

时，f'（x）＞0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
④若a=2，则f'（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
⑤当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，函数图象与x轴只有一个交点．
综上所述，若a≥0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点；
若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个公共点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax3-32(a+2)x2+6x-3．（1）当a＞2时，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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