已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-73-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．

试题来源：珠海二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数可得f'（x）=x²+2ax+b，
∵直线x+2y-14=0的斜率为-

1

2

，∴曲线C在点P处的切线的斜率为2，∴f'（1）=1+2a+b=2…①
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），∴f(1)=

1

3

+a+b=2…②
由①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，∴g(x)=

m2-1

3

(x3-2x2)，∴g′(x)=(m2-1)x(x-

4

3

)，由g'（x）=0?x=0，或x=

4

3

．
当m²-1＞0，即m＞1，或m＜-1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x

（-∞，0）

0

(0，

4

3

)

4

3

(

4

3

，+∞)

g'（x）

+

0

-

0

+

g（x）

极大值

极小值

由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(0)-g(

4

3

)=0-[-

32

81

(m2-1)]=

32

81

(m2-1)…（5分）
当m²-1＜0，即-1＜m＜1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x

（-∞，0）

0

(0，

4

3

)

4

3

(

4

3

，+∞)

g'（x）

-

0

+

0

-

g（x）

极小值

极大值

由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(

4

3

)-g(0)=-

32

81

(m2-1)-0=-

32

81

(m2-1)…（7分）
综上可知：当m＞1，或m＜-1时，g（x）_极大-g（x）_极小=

32

81

(m2-1)；
当-1＜m＜1时，g（x）_极大-g（x）_极小=-

32

81

(m2-1)…（8分）
（Ⅲ）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，
即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

1+2a+b＞0，(1)

4+4a+b＞0，(2)

1＜-a＜2，(3)

△=4(a2-b)＞0，(4)

…（10分）
由（1）+（3）得：a+b＞0，…（11分）
由（4）得：a+b＜a²+a，由（3）得：-2＜a＜-1，
∴a²+a=（a+

1

2

）²-

1

4

＜2，∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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