已知函数f(x)=13x3+12ax2-bx(a，b∈R)（1）若x1=-2和x2=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+12ax2-bx(a，b∈R)（1）若x1=-2和x2=4为函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的两个根
则

-a=-2+4

-b=(-2)×4

解得

a=-2

b=8

∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x（4分）
（2）∵f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数∴f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．
∴

f′(-1)≤0

f′(3)≤0

?

1-a-b≤0

a+3a-b≤0

?

a+b≥1

3a-b≤-9

?(6分)
作出

a+b≥1

3a-b≤-1

的可行域
联立

a+b=1

3a-b=-9

得交点A(-2，3)?(10分)
∴a²+b²的最小值为A到原点O的距离的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值为13（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+12ax2-bx(a，b∈R)（1）若x1=-2和x2=4为函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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