已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2]=f2(x2)-f2(x1)x2-x1，其中a，x1，x2为常数，x1≠x2．设函数g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N^*），其导函数记为f_n′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2] =

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a，x₁，x₂为常数，x₁≠x₂．设函数g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f₂（x）=x²f₂'（x）=2x
∴2[ax1+(1-a)x2] =

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=

2mx2+x-3

x

∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx²+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-

1

24

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞)
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上递增
∴当x=

1

2

时，k取得最大值，且最大值为m-5；
②当m＜-6时，由k′=0，得x=

-

3

2m

，而0＜

-

3

2m

＜

1

2

若x∈(0，

-

3

2m

)，则k′＞0，k单调递增；
若x∈(

-

3

2m

，

1

2

)，则k′＜0，k单调递减；
故当x=

-

3

2m

时，k取得最大值且最大值为1-2

-6m

．
综上，k_max=

m-5，(-6≤m＜0或m＞0)

1-2

-6m

，(m＜-6)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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