设函数f（x）=x2-alnx与g（x）=1ax-x的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．（1）求函数f（x），g（x）的表达式；（2）当a＞1时，求函数-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-alnx与g（x）=1ax-x的图象分别交直线x=1于点A，B，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-alnx与g（x）=

1

a

x-

x

的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切
线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a=

1

2

时，不等式f（x）≥m．g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：徐州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=x²-alnx，得f′（x）=

2x2-a

x

，所以f′（1）=2-a．
由g（x）=

1

a

x-

x

，得g′（x）=

2

x

-a

2a

x

，所以g′（1）=

2-a

2a

．
又由题意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

所以当a=2时，f（x）=x²-2lnx，g（x）=

1

2

x-

x

；
当a=

1

2

时，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
（2）当a＞1时，a=2，h（x）=f（x）-g（x）=x²-2lnx-

1

2

x+

x

，
函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
h′（x）=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2

x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x

-1

2

x

=（

x

-1）[

4(x

x

+

x

+x+1)-

x

2x

]．
由x＞0，得

4(x

x

+

x

+x+1)-

x

2x

＞0，
故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．
（3）当a=

1

2

时，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
当x∈[

1

4

，

1

2

）上时，f′（x）=

4x2-1

2x

＜0，f（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上为减函数
f（x）≥f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

ln2＞0，
当x∈[

1

4

，

1

2

）上时，由g′（x）=

4

x

-1

2

x

＞0，
g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上为增函数，g（x）≤g（

1

2

）=1-

2

，且g（x）≥g（

1

4

）=0
要使不等式f（x）≥m?g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]]上恒成立，当x=

1

4

时，m为任意实数；
当x∈（

1

4

，

1

2

]]时，不等式f（x）≥m?g（x）化为m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]min=

f(

1

2

)

g(

1

2

)

=

2+

2

4

ln4e．
所以m≤

2+

2

4

ln4e
所以当a＜1时，不等式f（x）≥m?g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的实数m的取值范围为（-∞，

2+

2

4

ln4e]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-alnx与g（x）=1ax-x的图象分别交直线x=1于点A，B，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：