设an=1?2+2?3+…+n(n+1)(n=1，2…)，（1）证明不等式n(n+1)2＜an＜(n+1)22对所有的正整数n都成立；（2）设bn=ann(n+1)(n=1，2…)，用定义证明limn→∞bn=12.-数学试题及答案

1、试题题目：设an=1?2+2?3+…+n(n+1)(n=1，2…)，（1）证明不等式n(n+1)2＜an＜(n+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设an=

1?2

+

2?3

+…+

n(n+1)

(n=1，2…)，
（1）证明不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

对所有的正整数n都成立；
（2）设bn=

an

n(n+1)

(n=1，2…)，用定义证明

lim

n→∞

bn=

1

2

.

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证：（1）由不等式k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

又因1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，以及

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

＜

1

2

[1+3+5+…+（2n+1）]=

(n+1)2

2

，
因此不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

.
对所有的正整数n都成立．
（2）由（1）及b_n的定义知

1

2

＜bn＜

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

，于是|bn-

1

2

|=bn-

1

2

＜

1

2n

对任意指定的正数ε，要使|bn-

1

2

|＜ε，
只要使

1

2n

＜ε，即只要使n＞

1

2ε

.
取N是

1

2ε

的整数部分，则数列b_n的第N项以后所有的项都满足|bn-

1

2

|＜ε
根据极限的定义，证得

lim

n→∞

bn=

1

2

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设an=1?2+2?3+…+n(n+1)(n=1，2…)，（1）证明不等式n(n+1)2＜an＜(n+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：