设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=274x2（1-x）．（Ⅰ）已知n∈N+，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n，n+1]时，都-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

27

4

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

1

2n

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）?f（x）=

1

2

f（x-1），x∈[n，n+1]，则（x-n）∈[0，1]
?f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．
f（x）=

1

2

f（x-1）=

1

22

f（x-2）=…=

1

2n

f（x-n）=

27

2n+2

（x-n）²（1+n-x）．（n=0也适用）．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=-

81

2n+2

(x-n)(x-

3n+2

3

)，由f'（x）=0得x=n或x=n+

2

3

x

n

（n，n+

2

3

）

n+

2

3

（n+

2

3

，n+1）

n+1

f'（x）

+

0

-

+

0

↗

极大

↘

0

f（x）的极大值为f（x）的最大值，fmax=f(n+

2

3

)=

1

2n

，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，∴|f（x）|=f（x）≤

1

2n

（x∈[n，n+1]）．…（8分）
（Ⅲ）y=f（x），x∈[0，+∞）即为y=f（x），x∈[n，n+1]，f'（x）=-1．
本题转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题
即方程(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=0在[n，n+1]内是否有解．…（11分）
令g（x）=(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=x2-

6n+2

3

x+

3n2+2n

3

-

2n+2

81

6，
对轴称x=n+

1

3

∈[n，n+1]，
又△=…=

4

9

+

2n+4

81

＞0，g（n）=-

2n+2

81

＜0，g（n+1）=

27-2n+2

81

，
①当0≤n≤2时，g（n+1）≥0，∴方程g（x）=0在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上分别有一解，即存在三个点P；
②n≥3时，g（n+1）＜0，方程g（x）=0在[n，n+1]上无解，即不存在这样点P．
综上所述：满足条件的点P有三个．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：